Gerak Lurus Berubah Beraturan 

Berbeda dengan benda yang bergerak lurus beraturan yang memiliki kecepatan tetap, benda yang bergerak lurus berubah beraturan memiliki kecepatan yang berubah secara teratur. Benda yang mengalami gerak lurus berubah beraturan memiliki suatu percepatan atau pun perlambatan. Nilai percepatan pada GLBB tetap yang membuat kecepatan berubah secara teratur.

Percepatan secara umum adalah perubahan kecepatan benda setiap satu satuan waktu. Percepatan dengan arah berlawanan dengan arah gerak benda disebut perlambatan karena akan membuat kecepatan benda menurun. Dalam SI percepatan memiliki satuan (\(m/s^2\)). Secara matematika dapat dirumuskan sebagai berikut.

\[\overrightarrow{a}(t) = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}\]

\[\mathrm{d}\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a}(t)\mathrm{d}t\]

\[\int_{\overrightarrow{v}_{a}}^{\overrightarrow{v}_{b}}\!\,\mathrm{d}\overrightarrow{v} = \int_{t_{a}}^{t_{b}}\!\overrightarrow{a}(t)\,\mathrm{d}t\]

Karena nilai percepatan tetap maka :

\[\Delta{\overrightarrow{v}} = \overrightarrow{a}\Delta{t}\]

\[\overrightarrow{a} = \frac{\Delta{\overrightarrow{v}}}{\Delta{t}}\]

Kemudian kita akan membahas kecepatan pada GLBB. Seperti yang sudah saya katakan bahwa kecepatan pada GLBB itu berubah secara teratur. Secara matematika dapat dirumuskan sebagai berikut.

\[\Delta{\overrightarrow{v}} = \overrightarrow{v}_{b} - \overrightarrow{v}_{a}\]

\[\Delta{\overrightarrow{v}} = \overrightarrow{a}\Delta{t}\]

Lalu kecepatan memiliki fungsi matematika sebagai berikut.

\[\overrightarrow{v}(t)-\overrightarrow{v}_{0} = \overrightarrow{a}(t - 0)\]

\[\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{a}t + \overrightarrow{v}_{0}\]

Lalu untuk perpindahan kita dapat mencarinya dengan cara menghitung luas di bawah kurva fungsi kecepatan terhadap waktu seperti berikut ini.

\[\Delta{\overrightarrow{r}} = \overrightarrow{r}_{b} - \overrightarrow{r}_{a}\]

Kita cari integral dengan rumus kecepatan sesaat.

\[\overrightarrow{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}\]

\[\mathrm{d}\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v}(t)\mathrm{d}t\]

\[\int_{\overrightarrow{r}_{a}}^{\overrightarrow{r}_{b}}\!\,\mathrm{d}\overrightarrow{r} = \int_{t_{a}}^{t_{b}}\!\overrightarrow{v}(t)\,\mathrm{d}t\]

\[\int_{\overrightarrow{r}_{a}}^{\overrightarrow{r}_{b}}\!\,\mathrm{d}\overrightarrow{r} = \int_{t_{a}}^{t_{b}}\!\overrightarrow{a}t + \overrightarrow{v}_{0}\,\mathrm{d}t\]

\[\Delta{\overrightarrow{r}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}\Delta{t^{2}} + \overrightarrow{v}_{0}\Delta{t}\]

Lalu dari persamaan di atas kita juga bisa mendapatkan fungsi posisi terhadap waktunya.

\[\overrightarrow{r}(t) - \overrightarrow{r}_{0} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}(t^{2} - 0^{2}) + \overrightarrow{v}_{0}(t - 0)\]

\[\overrightarrow{r}(t) = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}t^{2} + \overrightarrow{v}_{0}t + \overrightarrow{r}_{0}\]

*Tambahan 

Kita bisa mendapatkan rumus sebagai berikut.

\[2\Delta{\overrightarrow{r}} = \overrightarrow{a}\Delta{t^{2}} + 2\overrightarrow{v}_{0}\Delta{t}\]

\[2\Delta{\overrightarrow{r}} = \overrightarrow{a}\Delta{t}(t_{b} + t_{a}) + 2\overrightarrow{v}_{0}\Delta{t}\]

\[2\Delta{\overrightarrow{r}} = \Delta{\overrightarrow{v}}(t_{b} + t_{a}) + 2\overrightarrow{v}_{0}\Delta{t}\]

\[2\Delta{\overrightarrow{r}} = (\overrightarrow{v}_{b} - \overrightarrow{v}_{a})(t_{b} + t_{a}) + 2\overrightarrow{v}_{0}(t_{b} - t_{a})\]

\[2\Delta{\overrightarrow{r}} = \overrightarrow{v}_{b}t_{b} + \overrightarrow{v}_{b}t_{a} - \overrightarrow{v}_{a}t_{b} - \overrightarrow{v}_{a}t_{a} + 2\overrightarrow{v}_{0}t_{b} - 2\overrightarrow{v}_{0}t_{a}\]

\[2\Delta{\overrightarrow{r}} = \overrightarrow{v}_{b}t_{b} - \overrightarrow{v}_{b}t_{a} + 2\overrightarrow{v}_{b}t_{a} + \overrightarrow{v}_{a}t_{b} - 2\overrightarrow{v}_{a}t_{b} - \overrightarrow{v}_{a}t_{a} + 2\overrightarrow{v}_{0}t_{b} - 2\overrightarrow{v}_{0}t_{a}\]

\[2\Delta{\overrightarrow{r}} = (\overrightarrow{v}_{b} + \overrightarrow{v}_{a})(t_{b} - t_{a}) + 2(\overrightarrow{v}_{b} - \overrightarrow{v}_{0})t_{a} - 2(\overrightarrow{v}_{a} - \overrightarrow{v}_{0})t_{b}\]

\[2\Delta{\overrightarrow{r}} = (\overrightarrow{v}_{b} + \overrightarrow{v}_{a})\Delta{t} + 2\overrightarrow{a}t_{b}t_{a} - 2\overrightarrow{a}t_{a}t_{b}\]

\[2\Delta{\overrightarrow{r}} = (\overrightarrow{v}_{b} + \overrightarrow{v}_{a})\Delta{t}\]

\[\overrightarrow{v}_{b} + \overrightarrow{v}_{a} = \frac{2\Delta{\overrightarrow{r}}}{\Delta{t}}\]

Maka rumus lain untuk mencari perpindahan sebagai berikut.

\[\Delta{\overrightarrow{r}} = \frac{(\overrightarrow{v}_{b} + \overrightarrow{v}_{a})\Delta{t}}{2}\]

Kemudian :

\[(\overrightarrow{v}_{b} + \overrightarrow{v}_{a})\cdot\Delta{\overrightarrow{v}} = \frac{2}{\Delta{t}}\Delta{\overrightarrow{r}}\cdot\overrightarrow{a}\Delta{t}\]

\[\lvert\overrightarrow{v}_{b}\rvert^{2} - \lvert\overrightarrow{v}_{a}\rvert^{2} = 2\overrightarrow{a}\cdot\Delta{\overrightarrow{r}}\]

Kita dapatkan bahwa :

\[\lvert\overrightarrow{v}_{b}\rvert^{2} = \lvert\overrightarrow{v}_{a}\rvert^{2} + 2\overrightarrow{a}\cdot\Delta{\overrightarrow{r}}\]



Komentar

Postingan populer dari blog ini

Matematika Dasar 1